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Equazioni Differenziali

e Calcolo delle Variazioni:

un ponte tra modelli e applicazioni

È con la nascita del calcolo infinitesimale di anche dallo spazio, o in generale da più variabili, si di gravità, di spostarsi tra due punti fissati nel
Newton e di Leibniz, nel XVII secolo, che tro- parla di equazioni alle derivate parziali. Lo studio minor tempo possibile. Un analogo problema
viamo i primi studi sulle Equazioni Differen- di tali equazioni ha avuto inizio nel XVIII secolo è quello di determinare la forma di una corda
ziali e sul Calcolo delle Variazioni. ad opera di Euler, d'Alembert, Lagrange e Laplace sospesa agli estremi, ed ha come soluzione la
Le equazioni differenziali sono “equazioni”, quindi e successivamente da Fourier, come strumento per funzione coseno iperbolico, che dal problema
uguaglianze tra oggetti matematici incogniti, che la descrizione della meccanica dei continui, della stesso prende il nome di catenaria. Ricordiamo
contengono le “derivate” delle incognite, che in propagazione delle onde, della propagazione del infine due problemi di ottimizzazione di forma
questo caso sono funzioni e non semplici numeri. calore e del potenziale gravitazionale. ancora attuali: il problema di determinare la su-
Pertanto, con “equazione differenziale” ci si riferi- Il calcolo delle variazioni interviene invece in perficie di area minima che si appoggia ad un
sce al problema di determinare una funzione a par- problemi di ottimizzazione. È tra la seconda fissato sostegno, come la forma della lamina che
tire da relazioni tra le sue derivate. Il primo sempli- metà del ‘600 e la prima metà del ‘700 che ven- si ottiene immergendo il sostegno in acqua sapo-
ce esempio nasce con l’intento di prevedere il moto gono proposti la maggioranza dei “classici” pro- nata, e il problema di Newton per determinare il
di un punto materiale soggetto ad una forza, che blemi variazionali. L’esempio forse più famoso profilo aerodinamico ottimale che risulta tuttora
ne stabilisce l’accelerazione, quindi la derivata se- è quello della brachistocrona (Galileo), che si un problema aperto anche nella sua versione più
conda, della funzione che ne descrive la posizione. prefigge di individuare la traiettoria che permet- semplice di corpo a sezione circolare.
Se le funzioni dipendono non solo dal tempo, ma te ad un punto materiale, soggetto alla sola forza Le equazioni differenziali e il calcolo delle

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