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Modelli matematici Materiali speciali Equazioni di evoluzione
dei mercati finanziari e modelli variazionali nonlineari e applicazioni

I modelli matematici che incorporano Problemi rilevanti nell’ambito del cal- Modelli evolutivi nonlineari emergo-
fattori casuali, tra cui ad esempio i pro- colo delle variazioni nascono nella no in diverse aree come la Fisica
cessi di diffusione, la teoria cinetica dei teoria dell’elasticità e nella modelliz- Quantistica e fenomeni di transizio-
gas e l’andamento dei mercati finan- zazione di materiali caratterizzati da ni di fase. La nonlinerità delle equa-
ziari, si basano solitamente sul moto forti anisotropie, che comprendo- zioni, talvolta molto forte, è dovuta
Browniano o su processi aleatori più no alcune classi di smart materials, all’impossibilità di applicare processi
complessi. In questo contesto l’equa- materiali compositi le cui proprietà di linearizzazione, che renderebbero
zione differenziale ordinaria viene so- meccaniche cambiano drasticamen- da un lato i problemi più facili da stu-
stituita da un’equazione stocastica, o te in presenza di un campo elettro- diare, ma dall'altra eccessivamente
dall’equazione alle derivate parziali ad magnetico esterno. Questi problemi, semplificati e quindi poco realistici.
essa associata, detta di Kolmogorov. che trovano svariate applicazioni, Recentemente l’attività di ricerca del
Il gruppo di ricerca ha prodotto risul- tra cui dispositivi tattili, elettronica gruppo si è concentrata su modelli
tati teorici che trovano applicazione flessibile, automotive, elaborazione biologici e biomedicali, per la cresci-
nell’ambito della teoria di Black & Scho- digitale delle immagini, consistono ta di tumori e per il metabolismo del
les, che affronta, tra altre tematiche,
il problema della determinazione del nel minimizzare funzionali dell’ener- cervello. Le questioni relative all'esi-
prezzo equo di titoli derivati dei mercati gia con condizioni di crescita più ge- stenza, unicità e regolarità delle so-
finanziari. In questo contesto si svolge nerali di quelle note classicamente in luzioni sono essenziali per la valida-
da alcuni anni una collaborazione con letteratura. Per questo tipo di funzio- zione dei modelli. Lo studio relativo
un gruppo di ricerca del Dipartimento nali sono molte le questioni aperte all’esistenza di stati stazionari, di fe-
di Economia “Marco Biagi”, che ha lo sia per quanto riguarda l’esistenza di nomeni di biforcazione e di attrattori
scopo di descrivere e comprendere la minimi, la loro molteplicità, la loro re- viene sviluppato per rappresentare
presenza di “asimmetria” nei mercati fi- golarità e in generale le loro proprietà la dinamica per tempi lunghi al fine
nanziari, non ancora descritta adegua- qualitative, tutti nodi cruciali per ga- di fornire indicazioni per la diagnosi
tamente dai modelli classici. rantire l’affidabilità del modello. non invasiva e la prognosi.

variazioni si sono imposti per descrivere ma- i ricercatori del Dipartimento FIM sono im- ni deboli, trovate con metodi astratti, hanno
tematicamente sistemi in vari ambiti applica- pegnati con diversi progetti. Il denominatore le proprietà di regolarità richieste dalle appli-
tivi: Fisica, Scienze dei Materiali, Biologia, comune è la formazione di giovani ricercatori cazioni. Grazie al suo notevole sviluppo, ora
Chimica, Finanza, ecc. Questi due settori di e la partecipazione a gruppi di ricerca di rico- essa costituisce un tema di imprescindibile in-
ricerca sono strettamente connessi: in oppor- nosciuto prestigio internazionale. teresse teorico per il calcolo delle variazioni e
tune ipotesi i minimi dei funzionali del calcolo per le equazioni alle derivate parziali. In que-
delle variazioni sono soluzioni di equazioni Teoria della regolarità per sto contesto vengono studiati in particolare il
differenziali, mentre le soluzioni di alcune equazioni alle derivate parziali problema dell’ostacolo, e un’ampia famiglia di
equazioni differenziali sono minimi di funzio- questioni astratte, tra cui i teoremi di Poincaré,
nali integrali. Entrambi i settori costituiscono Originariamente, la teoria della regolarità na- di Sobolev, di Adams e di Morrey, le stime di
un fertile terreno di studio, in cui i docenti e sce con lo scopo di dimostrare che le soluzio- Schauder, la teoria di De Giorgi, Nash e Moser.

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